Μαθηματική θεωρία σκέδασης

Η θεωρία σκέδασης έχει παίξει κεντρικό ρόλο στην μοντέρνα μαθηματική φυσική. Πράγματι, από την εξήγηση του Rayleigh γιατί ο ουρανός είναι μπλέ, στην ανακάλυψη της πυρηνικής ενέργειας του Rutherford μέχρι τις μοντέρνες ιατρικές απεικονίσεις της αξονικής τομογραφίας, διάφορα φαινόμενα σκέδασης έχουν απασχολήσει μαθηματικούς και επιστήμονες για πολλά χρόνια. Γενικά, η θεωρία σκέδασης ασχολείται με το αποτέλεσμα που έχει ένα μη ομογενές μέσο σε ένα προσπίπτον σωματίδιο ή κύμα. ‘Λν το συνολικό πεδίο θεωρηθεί το άθροισμα του προσπίπτοντος πεδίου ui και του σκεδαζόμενου us, τότε το ευθύ πρόβλημα σκέδασης είναι ο καθορισμός us από την γνώση του ui και των διαφορικών εξισώσεων που διέπουν την κυματική διάδοση, ενώ το αντίστροφο πρόβλημα σκέδασης είναι η περιγραφή της ανομοιογένειας του μέσου από την ασυμπτωτική συμπεριφορά του ιιs.

Στο ευθύ πρόβλημα, το προσπίπτων πεδίο μπορεί να έχει την μορφή χρονικά αρμονικού επίπεδου κύματος ιiι(x,t) = ei(kx*dt) , όπου k = ω/c0 είναι ο κυματαριθμός, ω η συχνότητα, c0 η ταχύτητα του φωτός και d η διεύθυνση διάδοσης.

Για την επίλυση του παραπάνω προβλήματος, χρησιμοποιώντας κατάλληλα μαθηματικά εργαλεία καταλήγουμε σε μια ολοκληρωτική εξίσωση η οποία μπορεί να λυθεί αριθμητικά με διάφορες μεθόδους όπως πεπερασμένα στοιχεία.

Στο αντίστροφο πρόβλημα συνήθως προσπαθούμε να καθορίσουμε το σχήμα του σκεδαστή ή κάποιες ιδιότητες του υλικού. Εφόσον γνωρίζουμε τις τιμές που παίρνει το σκεδαζόμενο κύμα σε κάποια απόσταση κατασκευάζουμε κατάλληλες διαφορικές εξισώσεις τις οποιές θα επιλύσουμε αριθμητικά. Το αντίστροφο πρόβλημα παρουσιάζει μεγάλο ενδιαφέρον απο μαθηματική σκοπιά καθώς είναι μη γραμμικό, πράγμα που δυσκολεύει πολύ την εύρεση της λύσης. Ειδικά τα αντίστροφα προβλήματα έχουν πολλές φυσικές εφαρμογές όπως ο μη καταστροφικός έλεγχος υλικών, η αξονική τομογραφία, η σεισμική διασκόπιση στην γεωφυσική κ.α. και γι αυτό αποτελεί ένα ελκυστικό πεδίο έρευνας για επιστήμονες σε όλο τον κόσμο.

Αναφορές

Colton D., Rainer Κ.,Inverse acoustic and electromagnetic scattering theory, Springer A.M.S. 1992

Kirsch Α., An introduction to the mathematical theory of inverse problems, Springer A.M.S, 1996

This entry was posted in Μαθηματικά and tagged , , , , , , . Bookmark the permalink.

Αφήστε μια απάντηση

Η ηλ. διεύθυνσή σας δεν δημοσιεύεται. Τα υποχρεωτικά πεδία σημειώνονται με *