1. Τι ονομάζουμε Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο διάστημα Δ ;
Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αρχική συνάρτηση ή παράγουσα της f στο διάστημα Δ ονομάζεται κάθε συνάρτηση F που είναι παραγωγίσιμη στο Δ και ισχύει F΄(x)=f(x) για κάθε χ ανήκει Δ.
2. Έστω f μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα Δ. Αν F είναι μια παράγουσα της f στο Δ, τότε: α) όλες οι συναρτήσεις της μορφής G(x) =F(x) +c , cR είναι παράγουσες της f στο Δ και β) κάθε άλλη παράγουσα G της f στο Δ παίρνει τη μορφή G(x) =F(x) +c.
Απόδειξη
α) κάθε συνάρτηση της μορφής G(x) =F(x) +c , όπου cR, είναι μια παράγουσα της f στο Δ, αφού G΄(x) =(F(x) +c)΄=F ‘(x) =f (x) , για κάθε x ανήκει Δ .
Έστω G είναι μια άλλη παράγουσα της f στο Δ. Τότε για κάθε xΔ ισχύουν F ΄(x) =f (x) και G΄(x) =f (x) , οπότε G΄(x) =F΄(x) , για κάθε x ανήκειΔ .
Άρα υπάρχει σταθερά c τέτοια, ώστεG(x) =F(x) +c , για για κάθε x ανήκει Δ .