Ένα από τα πλέον ενδιαφέροντα πεδία της Μαθηματικής
επιστήμης , είναι σήμερα η Μαθηματική ή Παραμετρική Στατιστική. Διότι
1) Διαθέτει πλήρη μαθηματική τεκμηρίωση, απόλυτη αιτιολόγηση, σαφήνεια και πληρότητα, απαραίτητες μαθηματικές αρετές.
2) Έχει τεράστια χρησιμότητα στις σημερινές κοινωνικές διαδικασίες, αφού υποστηρίζει πολύ σημαντικές εφαρμογές, όπως πχ τις πολύ γνωστές μας Δημοσκοπήσεις.
Θα περιγράψουμε με λίγα λόγια το αντικείμενο και τον τρόπο με
τον οποίο καταφέρνει να «μαντέψει» το μέλλον…
Η Μαθηματική Στατιστική στηρίζεται και χρησιμοποιεί
την Θεωρία Πιθανοτήτων. Αποτελείται δε από τα κεφάλαια
1) Στατιστικές Μεταβλητές
2) Εκτιμητική
3) Έλεγχος Υποθέσεων
4) Γραμμικά Μοντέλα*
- Στο πρώτο κεφάλαιο ορίζονται οι στατιστικές ή στοχαστικές μεταβλητές και περιγράφονται οι ιδιότητες τους. Πρόκειται για εισαγωγικές γνώσεις , απαραίτητες για την συνέχεια.
- Στην Εκτιμητική, μέσα από ένα μικρό δείγμα ενός μεγάλου** πληθυσμού, μπορούμε να εκτιμήσουμε κάποιες ενδιαφέρουσες Παραμέτρους του πληθυσμού.
Συγκεκριμένα: έστω ότι ενδιαφερόμαστε να βρούμε κάποια παράμετρο ενός (μεγάλου) πληθυσμού, συνήθως την μέση τιμή
ή την διακύμανση (ή την τυπική απόκλιση). Επιλέγουμε τότε ένα
Δείγμα από τον πληθυσμό στο οποίο δείγμα μπορούμε να μετρήσουμε τις τιμές της εν λογω μεταβλητής και άρα μπορούμε να θεωρούμε τις τιμές αυτές γνωστές. Ακολουθώντας τις μεθόδους της
Εκτιμητικής βρίσκουμε τις ‘περιβόητες’ εκτιμήτριες της μεταβλητής, οι οποίες με απλά λόγια είναι συναρτήσεις εξαρτώμενες αποκλειστικά από δεδομένα του δείγματος (και άρα προσδιορίζονται) και οι οποίες εκτιμούν-προσεγγίζουν τις πραγματικές τιμές που έχει η μεταβλητή στον ‘άγνωστο’ πληθυσμό.
Έτσι μπορούμε ας πούμε να πάρουμε ένα δείγμα 2500 ή 1821 πχ ατόμων, να τους ρωτήσουμε τι θα ψήφιζαν αν είχαμε σήμερα εκλογές, να βρούμε κατόπιν τις κατάλληλες εκτιμήτριες και
να προσεγγίσουμε έτσι τα ποσοστά των κομμάτων στις ‘κανονικές’
εκλογές. Ας σημειωθεί πως μπορούμε ακόμη να επιλέξουμε το επίπεδο ασφαλείας της πρόβλεψης μας, δηλαδή μπορούμε να
προσδιορίσουμε το αποδεκτό περιθώριο λάθους οποίο συνήθως εινα περίπου 2-3%.
Έτσι βλέπει κανείς κατάπληκτος, τις εταιρίες Δημοσκοπήσεων να προβλέπουν με θαυμαστή ακρίβεια τα αποτελέσματα των εκλογών , (όσο κι αν έχει διατυπωθεί η όχι ασύστατη άποψη, ότι οι ίδιες οι δημοσκοπήσεις επηρεάζουν τα αποτελέσματα αφού είναι σίγουρο ότι μερικοί εκλογείς είναι ιδιαίτερα ασταθείς και καιροσκόποι…)
- Στον Έλεγχο Υποθέσεων διατυπώνουμε μιαν υπόθεση,
συνήθως Η έναντι μιας άλλης, εναλλακτικής υπόθεσης,
συνήθως Κ.
Κατόπιν αναπτύσσονται διαδικασίες που ελέγχουν (βάσει των δεδομένων ενός δείγματος ουσιαστικά), εάν η διατυπωθείσα υπόθεση Η είναι ορθή, οπότε γίνεται τελικως δεκτή, ή λάθος
οπότε απορρίπτεται προς όφελος της εναλλακτικής Κ.
Η τελική απόφαση βέβαια λαμβάνεται εν γνώσει μας ότι είναι
ορθή με πιθανότητα 99% ή 95% , αλλά πάντως δεν είναι ορθή μετά βεβαιότητος, πράγμα αδύνατον άλλωστε όταν μιλάμε για στατιστικά-στοχαστικά φαινόμενα…
Βασικό αντικείμενο των διαδικασιών είναι ο προσδιορισμός της λεγόμενης Συνάρτησης ελέγχου ή Ελεγχοσυναρτησης.
Οι βασικές διαδικασίες είναι οι έλεγχοι:
1) Έλεγχος Neyman-Pearson
2) Έλεγχος πηλίκου πιθανοφανειών.
Ο Έλεγχος Υποθέσεων εφαρμόζεται πολύ, σε πάρα πολλούς τομείς της σύγχρονης ζωής; Στην Λήψη οικονομικών-επιχειρηματικών αποφάσεων, στην Ιατρική, στην Βιολογία κοκ.
Συχνά πχ σε ένα Νοσοκομείο πρέπει να ελεγχθεί η αποτελεσματικότητα μιας νέας θεραπείας πάνω σε ‘πραγματικούς’
ασθενείς, προκειμένου να εκτιμηθεί η αποδοτικότητα της έναντι της ήδη εφαρμοζόμενης μεθόδου, και επομένως να αποφασιστεί αν θα γενικευθεί η εφαρμογή της. Είμαστε τότε μπροστά σε ένα κλασσικό
πρόβλημα ελέγχου υποθέσεων.
Επίσης πολλές φορές θέλουν κάποιοι ερευνητές να διαπιστώσουν αν υπάρχει ποσοτική και ει δυνατόν προσδιορίσιμη σχέση ανάμεσα σε δυο (ποσοτικές κατά προτίμηση ή ποιοτικές) μεταβλητές .
Και πάλι έχουμε την δυνατότητα να διατυπώσουμε ένα πρόβλημα έλεγχου και επιλύοντας το να αποφανθούμε ότι υπάρχει ή δεν υπάρχει τελικά σχέση. Ας κλείσουμε με ένα ερώτημα:
Το ποσόν που ξοδεύουμε για ρούχα και παπούτσια , σχετίζεται με το φύλο (άνδρας – γυναίκα) ή είναι άσχετο;
Εσείς τι λέτε;
*Για λόγους συντομίας, δεν θα αναφερθούμε σ’ αυτά.
**Κάθε πληθυσμός θεωρείται ‘μεγάλος’. Άλλωστε στα Μαθηματικά
δεν ορίζεται το ‘μεγάλος’…